导数详解#

1.1 割线&斜率#

在函数 $y=f(x)$ 上取两点：

• $A(x_0, f(x_0))$
• $B(x_0+\Delta x, f(x_0+\Delta x))$

割线 $AB$ 的斜率： $k_{割} = \frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \frac{\Delta y}{\Delta x}$

1.2 极限#

现在，让 $B$ 点无限靠近 $A$ 点，即 $\Delta x \to 0$：

$k_{切} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

如果这个极限存在，我们就说函数在 $x_0$ 处可导，这个极限值就是导数。

后置芝士：这里的 $\lim$ 是极限符号。有人吐槽说学导数前先学极限是”劝退流程”，但没办法，没有极限的严格定义，牛顿和莱布尼茨当年都被 Bishop Berkeley 喷过，说导数是”消失的量的鬼魂”（ghosts of departed quantities）。后来数学家们用 $\varepsilon-\delta$ 语言才给极限正名。

1.3 导数的记号#

导数有很多写法，都是等价的：

• 拉格朗日记号：$f'(x_0)$ 或 $y'$（最常用）
• 莱布尼茨记号：$\frac{dy}{dx}\big|_{x=x_0}$ 或 $\frac{df}{dx}$
• 简单记法：$\frac{d}{dx}f(x)$

$\frac{dy}{dx}$ 看起来像个分数，它确实可以当分数用（在链式法则中特别明显），虽然严格来说它是一个整体的极限符号。

3.1 常数与幂函数#

• $(C)' = 0$ （常数的变化率为0， obvious）
• $(x^n)' = nx^{n-1}$ （幂函数求导法则，超级常用）

3.2 指数与对数函数#

• $(e^x)' = e^x$ （最漂亮的导数，导完还是它自己！）
• $(a^x)' = a^x \ln a$
• $(\ln x)' = \frac{1}{x}$
• $(\log_a x)' = \frac{1}{x\ln a}$

$e^x$ 的导数还是 $e^x$，这就是为什么 $e$ 被称为”自然常数”。就像有些人整容后还是原来那样，$e^x$ 求导后完全不变，可以说是”不忘初心”的典范。

3.3 三角函数#

• $(\sin x)' = \cos x$
• $(\cos x)' = -\sin x$ （注意负号！）
• $(\tan x)' = \sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$

三角函数的导数有周期性循环：$\sin \to \cos \to -\sin \to -\cos \to \sin$，转四圈回到原点。这有点像”辗转相除”，只不过这里是”辗转求导”。

4.1 四则运算#

4.2 复合函数求导：链式法则（Chain Rule）#

这是导数运算的核武器，也是最容易出错的地方。

若 $y = f(u)$，$u = g(x)$，则： $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

或写成：$[f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

关键：外层函数在内层函数处的导数，乘内层函数的导数。

例子：求 $(\sin 2x)'$

• 外层：$\sin u$，导数为 $\cos u$
• 内层：$u = 2x$，导数为 $2$
• 结果：$\cos 2x \cdot 2 = 2\cos 2x$

常见错误：直接写成 $\cos 2x$，忘了乘内层函数的导数 $2$。这就像剥洋葱，只剥了最外层就停了，里面的层还没处理呢！

多层复合就多次链式： $(e^{\sin x^2})' = e^{\sin x^2} \cdot \cos x^2 \cdot 2x$

从外到内：$e^u \to \sin v \to x^2$，一层一层剥。

5.1 判断函数的单调性#

定理：若 $f'(x) > 0$ 在区间 $I$ 上恒成立，则 $f(x)$ 在 $I$ 上单调递增；若 $f'(x) < 0$，则单调递减。

几何解释：导数为正 $\Leftrightarrow$ 切线斜率为正 $\Leftrightarrow$ 函数图像上升。

注意：$f'(x) > 0$ 是充分不必要条件。例如 $f(x)=x^3$，在 $x=0$ 处 $f'(0)=0$，但函数在 $\mathbb{R}$ 上整体单调递增。严格来说，$f'(x) \geq 0$ 且等号只在孤立点成立时，函数也是严格单调递增的。

5.2 求极值与最值#

极值点：函数在某点附近”最高”或”最低”的点。

必要条件（费马定理）：若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导且取得极值，则 $f'(x_0) = 0$。

求极值步骤：

1. 求导数 $f'(x)$
2. 解 $f'(x) = 0$，得到驻点（临界点）
3. 判断驻点两侧导数符号变化：

• 左正右负 $\to$ 极大值
• 左负右正 $\to$ 极小值
• 同号 $\to$ 不是极值（如 $y=x^3$ 在 $x=0$ 处）

二阶导数判别法（更快但有时会失效）：

• 若 $f'(x_0) = 0$ 且 $f''(x_0) > 0$，则 $x_0$ 是极小值点
• 若 $f'(x_0) = 0$ 且 $f''(x_0) < 0$，则 $x_0$ 是极大值点

二阶导数的直观：$f''(x)$ 是导数的导数，描述的是变化率的变化率（加速度）。$f''(x) > 0$ 意味着函数”向上凹”（concave up），像碗一样，底部自然是极小值。

5.3 实际问题中的最优化#

导数是解决”最大利润”、“最小成本”、“最短路径”等问题的利器。

经典题型：用长为 $L$ 的铁丝围成一个矩形，怎样围面积最大？

解：设一边长为 $x$，则另一边为 $\frac{L}{2}-x$，面积 $S = x(\frac{L}{2}-x) = \frac{L}{2}x - x^2$。

$S' = \frac{L}{2} - 2x = 0 \Rightarrow x = \frac{L}{4}$。

所以是正方形时面积最大。配方也能做，但导数方法更通用，特别是约束条件复杂时。

6.1 高阶导数#

导数的导数叫二阶导数，记作 $f''(x)$ 或 $\frac{d^2y}{dx^2}$。

物理意义：

• $s'(t) = v(t)$（速度）
• $s''(t) = v'(t) = a(t)$（加速度）

6.2 隐函数求导#

有时函数关系是隐式的，如 $x^2 + y^2 = 1$（单位圆）。这时两边同时对 $x$ 求导，把 $y$ 看作 $x$ 的函数：

$2x + 2y \cdot y' = 0 \Rightarrow y' = -\frac{x}{y}$

注意 $y$ 是 $x$ 的函数，所以求导时要链式法则乘 $y'$。

6.3 洛必达法则（L’Hôpital’s Rule）#

求极限 $\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ 时，若遇到 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型未定式，可以： $\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

前提：右边极限存在或为无穷大。

洛必达法则属于”超纲但好用”的工具，很多难题用它秒解。但要注意，它不是万能的，有时越求越复杂，或者根本不符合条件（如 $\lim_{x\to\infty} \frac{x+\sin x}{x}$ 就不能直接用，因为分子导数后振荡无极限）。