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导数/Derivative

2026-03-01

导数

常见一元函数导数公式大全#

一、基本初等函数#

1. 常数与幂函数#

函数	导数	定义域/备注
$c$ （常数）	$0$	$c \in \mathbb{R}$
$x^n$	$n x^{n-1}$	$n \in \mathbb{R}, x \neq 0$ （当 $n<1$ ）
$\sqrt{x}$	$\frac{1}{2\sqrt{x}}$	$x > 0$ (上方的特殊化版本)
$\frac{1}{x}$	$-\frac{1}{x^2}$	$x \neq 0$

2. 指数与对数函数#

函数	导数	定义域/备注
$e^x$	$e^x$	$x \in \mathbb{R}$
$a^x$	$a^x \ln a$	$a > 0, a \neq 1$
$\ln x$	$\frac{1}{x}$	$x > 0$
$\log_a x$	$\frac{1}{x \ln a}$	$a > 0, a \neq 1, x > 0$
$\ln \\|x\\|$	$\frac{1}{x}$	$x \neq 0$

二、三角函数#

函数	导数	定义域限制
$\sin x$	$\cos x$	—
$\cos x$	$-\sin x$	—
$\tan x$	$\sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$	$x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$
$\cot x$	$-\csc^2 x = -\frac{1}{\sin^2 x}$	$x \neq k\pi$
$\sec x$	$\sec x \tan x$	$x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$
$\csc x$	$-\csc x \cot x$	$x \neq k\pi$

三、反三角函数#

函数	导数	定义域
$\arcsin x$	$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\\|x\\| < 1$
$\arccos x$	$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\\|x\\| < 1$
$\arctan x$	$\frac{1}{1+x^2}$	$x \in \mathbb{R}$
$\text{arccot } x$	$-\frac{1}{1+x^2}$	$x \in \mathbb{R}$
$\text{arcsec } x$	$\frac{1}{\\|x\\|\sqrt{x^2-1}}$	$\\|x\\| > 1$
$\text{arccsc } x$	$-\frac{1}{\\|x\\|\sqrt{x^2-1}}$	$\\|x\\| > 1$

四、双曲函数#

函数	定义	导数
$\sinh x$	$\frac{e^x - e^{-x}}{2}$	$\cosh x$
$\cosh x$	$\frac{e^x + e^{-x}}{2}$	$\sinh x$
$\tanh x$	$\frac{\sinh x}{\cosh x}$	$\text{sech}^2 x = 1 - \tanh^2 x$
$\coth x$	$\frac{\cosh x}{\sinh x}$	$-\text{csch}^2 x$

五、求导法则（运算规则）#

设 $u(x), v(x)$ 可导， $c$ 为常数：

法则名称	公式
线性性	$(cu)' = cu'$
加法	$(u \pm v)' = u' \pm v'$
乘法（莱布尼茨）	$(uv)' = u'v + uv'$
除法	$\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
链式法则	$\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
反函数求导	$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$

六、高阶导数与特殊公式#

公式	说明
$(e^x)^{(n)} = e^x$	任意阶导数不变
$(a^x)^{(n)} = a^x (\ln a)^n$
$(\sin x)^{(n)} = \sin\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)$
$(\cos x)^{(n)} = \cos\left(x + \frac{n\pi}{2}\right)$
$(\ln x)^{(n)} = (-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{x^n}$	$n \geq 1$
$(x^m)^{(n)} = m(m-1)\cdots(m-n+1)x^{m-n}$	当 $n \leq m$ ，否则为 $0$ （ $m \in \mathbb{N}$ ）

七、常用复合函数导数速查#

函数	导数
$e^{u(x)}$	$e^{u(x)} \cdot u'(x)$
$\ln u(x)$	$\frac{u'(x)}{u(x)}$
$[u(x)]^n$	$n[u(x)]^{n-1} \cdot u'(x)$
$\sin u(x)$	$\cos u(x) \cdot u'(x)$
$\arctan u(x)$	$\frac{u'(x)}{1+u^2(x)}$
$a^{u(x)}$	$a^{u(x)} \ln a \cdot u'(x)$

记忆口诀：常为零、幂降次、指不变、对倒数、正变余、余变负

导数/Derivative

https://blog.niuzhix.dpdns.org/posts/derivative/

作者

Niuzhix

发布于

2026-03-01

许可协议

CC BY-NC-SA 4.0

导数详解/Detailed Explanation

常见一元函数导数公式大全

一、基本初等函数

二、三角函数

三、反三角函数

四、双曲函数

五、求导法则（运算规则）

六、高阶导数与特殊公式

七、常用复合函数导数速查